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Problema:

Decimos que un objeto está en equilibrio cuando todas las fuerzas sobre él se estabilizan (sumando cero). La figura 1.40 muestra una viga que pesa 124 N y está apoyada en equilibrio por un tirón de 100.0 N y una fuerza F en el piso. la tercer fuerza sobre la viga es el peso de 124N que actúa verticalmente hacia abajo. a) Utilice componentes de vectores para encontrar la magnitud y la dirección de F. b) verifique lo razonable de su respuesta en el inciso a) haciendo una gráfica aproximadamente a escala.

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Datos:

\overrightarrow{F}_{1x}= 100.0 N, \phi=30.0^o

\overrightarrow{P}= 124 N

\overrightarrow{F}= ?

\beta =?

Donde:

\overrightarrow{F} = \text{ Vector o Fuerza F.}

\overrightarrow{F}_{1x} = \text{ Vector o fuerza F.}

\phi= \acute{A}ngulo \text{ del vector} \overrightarrow{F}_{1x}.

\beta = \acute{A}ngulo \text{ del vector} \overrightarrow{F}.

Fórmulas:

\overrightarrow{F} = \sqrt{\overrightarrow{F_x}^2 + \overrightarrow{Fy}^2}

\Large{ \tan \boldsymbol{\theta} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{F _y}}{\overrightarrow{F _x}} \Bigg)}

Solución:

Bien para resolver este problema lo primero que vamos a hacer es graficar el peso y los componentes de las fuerzas.

Nombraremos a la fuerza de 100.0 N como \overrightarrow{F}_1 y los componentes de este vector serán «\overrightarrow{F}_{1x}» y «\overrightarrow{F}_{1y}«, mientras que la fuerza del peso de la viga se llamará «\overrightarrow{P}» y la vamos a graficar en el centro de la viga.

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También descompondremos el vector \overrightarrow{F} en sus componentes «\overrightarrow{F_x}» y «\overrightarrow{F_y}«.

Primero:

Antes de hacer la sumatoria de fuerzas vamos a enfocarnos un momento en la fuerza \overrightarrow{F_1}, esta fuerza tiene un ángulo de 30.0º; pero está sobre la viga que tiene un ángulo de 40º entonces la dirección del vector \overrightarrow{F_1} es igual a la suma de el ángulo de 30º mas el ángulo de 40º.

Luego escribimos que del vector \overrightarrow{F}_1 al eje x+ hay un ángulo \alpha que es igual a:

\alpha= 30^o + 40^o =70^o

Segundo:

Empezamos realizando una sumatoria de fuerzas; pero solo sobre las fuerzas y vectores componentes que estén en el eje x.

\sum F_x = 0

- \overrightarrow{F}_x + \overrightarrow{P} + \overrightarrow{F}_{1x} = 0

Despejando \overrightarrow{F_x}

- \overrightarrow{F}_x = - \overrightarrow{P} - \overrightarrow{F}_{1x}

Multiplicando todo por (-1)

- \overrightarrow{F}_x = - \overrightarrow{P} - \overrightarrow{F}_{1x} * (-1)

\overrightarrow{F}_x = \overrightarrow{P} + \overrightarrow{F}_{1x}

\overrightarrow{F}_x = 0 + 100 N * \cos 70^o

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\overrightarrow{F}_x = 34.2 N

Tercero:

En este punto tenemos que hacer la sumatoria de las fuerzas y/o vectores componentes que estén en el eje y.

\sum F_y = 0

\overrightarrow{F}_y - \overrightarrow{P} + \overrightarrow{F}_{1y} = 0

Despejamos \overrightarrow{F}_{y}

\overrightarrow{F}_y = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{F}_{1y}

\overrightarrow{F}_y = 124 N - 100 \sin 70^o

\overrightarrow{F}_y = 30.03 N

Cuarto:

Hasta aquí ya tenemos los vectores componentes y a partir de ello vamos primero a encontrar el vector o fuerza F.

Este vector lo vamos a encontrar con la formula de Pitágoras entonces ponemos:

\overrightarrow{F} = \sqrt{\overrightarrow{F_x}^2 + \overrightarrow{Fy}^2}

Reemplazando los valores tenemos:

\overrightarrow{F} = \sqrt{34.2^2 + 30.03^2}

\overrightarrow{F} = 45.5 N

Redondeando

\overrightarrow{F} = 46 N\text{magnitud de la fuerza} \overrightarrow{F}.

Quinto:

Ya tenemos la magnitud y vamos a hallar el ángulo de este vector \overrightarrow{F} con la fórmula de la tangente donde:

\Large{ \tan \boldsymbol{\theta} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{F _y}}{\overrightarrow{F _x}} \Bigg)}

\Large{ \tan \boldsymbol{\theta} = \Bigg(\frac{30.03}{34.2} \Bigg)}

\Large{\boldsymbol{\theta} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{30.03}{34.2} \Bigg)}

\Large{\boldsymbol{\theta} = 41.28^o}

No, nos asustemos con este resultado, recordemos que el ángulo de la \overrightarrow{F} debe ir desde el eje x+ hacia el vector. Entonces restamos 41.28º a 180º.

\Large{\boldsymbol{\beta} = 180^o - \theta}

\Large{\boldsymbol{\beta} = 180^o - 41.28^o}

\Large{\boldsymbol{\beta} = 138.7^o}

Redondeando

\Large{\boldsymbol{\beta} = 139^o}

Conclusión:

Como pudimos ver la magnitud o módulo del vector \overrightarrow{F} es igual a 46 N, mientras que la dirección es 139^o.

Extra:

También pueden ver el ejercicio resuelto en este vídeo aunque no tiene las correcciones que hice en este post.

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Rocio

Hola! Gracias pero porque en la sumatoria de fuerzas x se multiplica por -1?