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operadores lógicos, conectiva lógica, operador lógico

Operaciones con proposiciones (operaciones proposicionales)

Con 1 o más proposiciones iniciales podemos generar otra proposición mediante operaciones proposicionales con la aplicación de «Conectivos lógicos» .

Conectivos lógicos

Son términos de enlace «símbolos» que van entre las proposiciones las cuales son:

  • «No» (Negación)
  • «O» (Disyunción)
  • «Y» (Conjunción)
  • «Entonces» (Implicación)
  • «Si y solo si» (Doble implicación)

1. Negación lógica ():

Es una operación unitaria o monaria, ya que a «partir de una proposición se obtiene otra que es su negación».

En otras palabras, la negación de p es la proposición obtenida cuando se antepone la palabra «No» en la proposición p .

Notación: \neg p, \sim p

Se lee: «No p» , «No es cierto que p» , «Es falso que p» , «No es verdad que p» .

Tabla de verdad de la negación

complemento lógico, Tabla de verdad de negación lógica

  • Si la proposición de p es verdad (V) la negación de esta es Falsa (F).
  • Si la proposición de p es Falso (F), la negación de esta es Verdadera (V).

Ejemplos

(1) Negar la proposición de p

p = Las personas son de color azul

\sim p = Es falso que las personas son de color azul

El valor de verdad de v(p)= F y el valor de verdad de v(\sim p) = V

(2) Negar la siguiente proposición

r = El jaguar esta en la selva

\sim r = No es cierto que el jaguar esta en la selva

El valor de verdad de v(r)= V y el valor de verdad de v( \sim r)= F

2. Conjunción o producto lógico (^):

Esta operación es binaria, esto quiere decir que son necesarias 2 proposiciones para efectuar una operación de conjunción, el uso de la conjunción es una proposición compuesta.

«La conjunción sólo es verdadera (V) cuando las 2 proposiciones son verdaderas, en cualquier otro caso es falso (F)» .

Nota: Conjunción es la unión de dos o más elementos y /o cosas.

Notación: p \wedge q, p \& q, p and q

Se lee: «p y q» , «p y también q» , «a la vez p y q» .

Tabla de verdad de la conjunción

Ejemplos

(1) Si declaramos:

3 es un número impar y 2 es un número primo

p= 3 es un número impar v(p)=V

q= 2 es un número primo v(q)=V

Ahora como ambas son verdaderas, la proposición compuesta es verdad (V).

v(p \wedge q)=V

(3 es un número impar y 2 es un número primo) = verdad (V)

(2) Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

Mi waifu es bonita y mi waifu es idol

p = Mi waifu es bonita v(p)=V

q = Mi waifu es idol v(q)=F

En este caso una de las proposiciones es falsa (F), por este motivo el valor de verdad de la proposición compuesta es (F).

v(p \wedge q) = F

( Mi waifu es bonita y  es idol ) = Falso (F)

(3) Determinar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

p= 2+3=5   v(p)=V

q= Hay varios libros de lógica   v(q)=V

r= La luna es de queso   v(r)=F

(1) v(p \wedge q) = V

(2 mas 3 es igual a 5 y Hay varios libros de lógica) = Verdada (V)

(2) v(p \wedge r) = F

(2 mas 3 es igual a 5 y La luna es de queso) = Falso (F)

(3) v(q \wedge r) = F

(Hay varios libros de lógica y La luna es de queso) = Falso (F)

 

3. Disyunción o suma lógica ( \vee , o):

Este operador lógico «o» es utilizado en sentido incluyente, ya que «el valor de verdad de la disyunción se da, en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdad (V)» .

La disyunción sólo es falso (F) en el caso en que las 2 proposiciones componentes sean falsas (F).

Notación:  p \lor q p \text{ o } qp + q

Se lee: «p ó q», «p o también q».

 Tabla de verdad de la disyunción (suma lógica)

suma lógica

Ejemplo 

(1)  Si declaramos lo siguiente:

– Regalo los juguetes viejos o que no me sirven.

p = Regalo los juguetes viejos

q = Regalo los juguetes que no me sirven

Nota: En este ejemplo el sentido de «o» es incluyente; porque si en efecto regalo un juguete que es viejo, y además no me sirve, entonces:

v(p) = V y v(q) = V

esto quiere decir que: v(p \lor q) = V

(Regalo los juguetes viejos o que no me sirven )= Verdad (V)

4. Disyunción exclusiva o diferencia simétrica (\veebar ):

Como su nombre lo indica «excluyente» esto quiere decir que «Solo es verdad cuando una de las proposiciones es verdadera (V)» , en cualquiera de los otros casos es falso (F).

Notación: p \veebar qp \oplus q

Se lee: «p o exclusivamente q», «p ó q pero no ambas».

Tabla de verdad de diferencia simétrica (disyunción excluyente)

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Ejemplo

(1) Si declaramos:

– Pikachu esta vivo o Pikachu esta muerto

p = Pikachu esta vivo v(p)=V

q = Pikachu esta muerto v(q)= F

Nota: En este caso Pikachu no puede estar vivo o muerto a la vez, y sabiendo que la primera proposición es verdad (V) y la segunda es falsa (F), entonces :

v(p \veebar q)= V

(Pikachu esta vivo o muerto ) = Verded (V)

5. Implicación o condicional (\longrightarrow):

En el caso de la implicación debemos saber que: las proposiciones p y q se llaman antecedente y consecuente.

Entonces para este operador lógico decimos que «el resultado de la implicación solo es falso (F), cuando el antecedente es verdad (V) y el consecuente es falso (F)» .

Notación: p \longrightarrow q , p \Rightarrow q

Se lee: «p entonces q», » p cuando q», «p también q», «para que p basta que q», etc.

Tabla de verdad de la implicación condicional

implicación lógica, condicional lógica, tabla de verdad del condicional material

Explicación de la implicación o condicional

Para explicar esto pondremos el siguiente ejemplo.

Si declaramos:

– Si apruebo el examen entonces te presto el apunte

p= Apruebo el examen

q= te presto el apunte

p \longrightarrow q = Si apruebo el examen entonces te presto el apunte …(I)

Nota: Este enunciado puede verse como un compromiso condicionado por p, de esta forma podemos asociar su valor de verdad (V) al cumplimiento del compromiso.

 

(1) Si no apruebo el examen estoy liberado del compromiso y preste o no el apunte la proposición (I) es (V).

p= Apruebo el examen v(p)=F

q= te presto el apunte v(p)=V o F

Nota: no importa si «q» es verdadera o falsa por que el resultado ya esta dictado por «p»

v(p \longrightarrow q) = V

(No apruebo el examen entonces te presto el apunte )= Verdad (V)

(No apruebo el examen entonces No te presto el apunte )= Verdad (V)

(2) Si p es verdad (V) porque apruebo el examen y no presto el apunte, el compromiso no se cumple y la proposición  (I) es falsa (F).

p= Apruebo el examen v(p)= V

q= te presto el apunte v(p)= F

v(p \longrightarrow q) = F

( Apruebo el examen entonces  No te presto el apunte )= Falso (F)

(3) Si p y q son (V) entonces la implicación es (V), porque el compromiso es cumplido.

p= Apruebo el examen v(p)=V

q= Te presto el apunte v(p)=V

(p \longrightarrow q) = V

(Si apruebo el examen entonces te presto el apunte)= Verdad (V)

(4) Si p y q son falsos (F), entonces la implicación se cumple (V), ya que no estoy obligado a prestar los apuntes debido a que no pase.

p= Apruebo el examen v(p)= F

q= Te presto el apunte v(p)= F

(p \longrightarrow q) = V

(No apruebo el examen entonces No te presto el apunte )= Verdad (V)

6. Doble implicación o bicondicional (o equivalencia) (\longleftrightarrow):

 «La doble implicación o bicondicional solo  es verdadera si ambas proposiciones p y q tienen el mismo valor , ya sea que ambas sean verdad (V) o ambas sean falsas (F)» .

En otras palabras,  p es equivalente a q (p \longleftrightarrow q)  si se verifica que (p \longrightarrow q) y (q \longrightarrow p) tienen el mismo valor.

Otra forma de verlo es: Si p y q son diferentes entonces (p \longleftrightarrow q) es falso (F).

Notación: p \longleftrightarrow q, p \Longleftrightarrow q

Se lee: «p si y sólo si q», «p es equivalente a q», «p siempre y cuando q», etc.

Tabla de verdad de doble implicación o bicondicional

bicondicional o equivalencia

La segunda definición decía que «p es equivalente a q» si comprobamos que (p \longrightarrow q) y (q \longrightarrow p) tienen el mismo valor de verdad.

 

Ejemplos

(1) Si declaramos:

– La empanada es de pollo si y sólo si lleva pollo

p= La empanada es de pollo v(p)=F

q= La empanada lleva pollo v(q)=F

Nota: Toda vez que p sea verdad (V), también lo es q, y análogamente, si p es falso (F) también q es falso (F), entonces:

v(p \longrightarrow q)= V

(La empanada es de pollo si y sólo si lleva pollo ) = Verdad (V)

Nota: Análogamente quiere decir igual o similar, ej. El aplicó, análogamente (la misma)  la regla a ambos casos.

(2) Si declaramos:

– «a» es igual a «b» si y solo si «a» al cuadrado  es igual a «b» al cuadrado

a=b si y sólo si a^2=b^2

p= a=b  v(p)=V

q= a^2=b^2 v(q)=F

Nota: Esta doble implicación es falsa (F) porque p es verdad (V) y q es falso (F), si fuera al revés v(p)=F y v(q)=V, la doble implicación segue siendo falso (F).

v(p \longleftrightarrow q)=F

(«a» es igual a «b» si y solo si «a» al cuadrado  es igual a «b» al cuadrado) = Falso (F)

 

Recuerden que yo también soy estudiante 😅️️ y puedo equivocarme así que, si ven un error 🤯️ por favor díganlo en los comentarios, de esta forma todos podemos aprender.😋️

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