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Problema:

Un bloque de masa desconocida esta esta unido a un resorte de 6.5N/m y experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 10cm. Cuando el bloque está a la mitad entre su posición de equilibrio y el punto extremo, su rapidez media es 30cm/s. Calcule a) La masa del bloque b) El periodo del movimiento y c) La aceleración máxima del bloque.

Un bloque de masa desconocida esta esta unido a un resorte de 6.5N/m y experimenta un movimiento armónico simple con una amplitud de 10cm.

Datos:

k=6.5N/m

v=30cm/s

A=10cm

m=?

t=?

a_{max}=?

Fórmulas:

1) \boldsymbol{ E_m=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 }

2) \boldsymbol{ \omega= \sqrt[2]{\frac{k}{m}} }

3) \boldsymbol{ T= \frac{2\pi}{\omega} }

4) \boldsymbol{ a_{max}=A\omega^2 }

Donde:

k = Constante [N/m].

v= Velocidad del bloque [m/s].

A=Amplitud [m].

a_{max}= Aceleración máxima [m/s²].

Em= Energía mecánica [J].

\omega=Frecuencia angular [rad/s].

T= Periodo [s].

x= Distancia [m].

Solución:

Antes de empezar a resolver este problema vamos a realizar unos cálculos auxiliares de conversión de sistema de unidades.

Cálculos auxiliares:

v=30\frac{cm}{s}

{\Large 30\frac{\not{cm}}{s} \times \frac{0.01m}{1\not{cm}}=0.3m }

A=10cm

10\not{cm} \frac{0.01m}{1\not{cm}}=0.1m

Ahora para resolver este problema vamos a empezar encontrando la posición del bloque. Sabemos que la amplitud es igual a A=0.1m y como el bloque esta a la mitad de la posición de equilibrio y el punto extremo, dividimos la amplitud entre 2.

x= \frac{A}{2} = 0.05m

Primero:

a) m=?

Para encontrar la masa del bloque usamos la fórmula de la energía mecánica 1)

\boldsymbol{ E_m=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 }

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A esta fórmula llamaremos E_{m1}

\boldsymbol{ E_{m1}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 }…(1)

Partiendo de está fórmula (1) decimos que x=A y reemplazamos

\boldsymbol{ E_m=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kA^2 }

A esta fórmula la llamamos E_{m2}

\boldsymbol{ E_{m2}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kA^2 }…(2)

Ahora tomamos la fórmula (1) y su variante la fórmula (2) y las igualamos

E_{m1} = E_{m2}

\boldsymbol{ \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 =\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kA^2 }

Cuando el bloque llega al punto extremo que es la amplitud su velocidad es «0» entonces tachamos la velocidad de E_{m2}.

\boldsymbol{ \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 =\frac{1}{2}m\not{v}^2+\frac{1}{2}kA^2 }

\boldsymbol{ \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2 =\frac{1}{2}kA^2 }

Reemplazamos los valores numéricos en la igualdad

\frac{1}{2} \times m \times 0.3^2 + \frac{1}{2} \times 6.5 \times 0.05^2 =\frac{1}{2} \times 6.5 \times 0.1^2

Despejamos la masa

\frac{1}{2} \times m \times 0.3^2 + 0.08125 = 0.0325

\frac{1}{2} \times m \times 0.3^2 = 0.0325 - 0.008125

\frac{1}{2} \times m \times 0.09 = 0.024375

m \times 0.09 = 2 \times 0.024375

m \times 0.09 = 0.04875

{\large m = \frac{0.04875}{0.09} }

m =0.54166

m =0.5417kg

Segundo:

b) t=?

Para saber cuanto tarda el bloque en su movimiento armónico simple, primero debemos encontrar el valor de la frecuencia angular.

\boldsymbol{ \omega= \sqrt[2]{\frac{k}{m}} }

{\large \boldsymbol{ \omega= \sqrt[2]{\frac{6.5N/m}{0.542kg}}= 3.463rad/s } }

T=\frac{2 \times \pi}{\omega}

T=\frac{2 \times \pi}{3.463}= 1.814376s

Tercero:

c) a_{max}=?

Finalmente encontramos la aceleración máxima

a_{max}=A \times \omega^2

a_{max}=0.1 \times 3.463^2

a_{max}=1.199

a_{max}=1.2m/s

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jose ttito

excelente