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De Morgan's Law - logic circuits, chibi, kawaii, Matematica, chibi ney, neko, cute girl

Definición de la ley de De Morgan

El teorema o ley de «De Morgan» demuestra la equivalencia entre una combinación de compuertas o puerta lógicas.

. Primera ley de De Morgan

La suma lógica negada de las variables lógicas es igual al producto de cada una de dichas variables negadas.

\overline{A+B} = \overline{A} \bullet \overline{B}

. Segunda Ley de De Morgan

El producto lógico negado de las variables lógicas es igual a la suma lógica de cada una de las variables negadas.

\overline{A \bullet B} = \overline{A} + \overline{B}

Símbolos a usar en la demostración:

Nota: También pondré algunos símbolos que son usados en conjuntos, solo para mostrar que son equivalentes a los símbolos de circuitos lógicos.

\boldsymbol{ \Rightarrow } : Entonces.

\boldsymbol{ \bullet, \land, \& } : Producto lógico (and).

\boldsymbol{ \lor, + } : Suma lógica o disyunción lógica (or).

\boldsymbol{ -, \neg } : Negación.

\boldsymbol{ \in } : Pertenece.

\boldsymbol{\notin } : No pertenece.

Demostración de la 1ra ley de De Morgan

  • Suponiendo que «x» pertenece a \overline{A+B} , y lo representamos de la siguiente forma:

\Rightarrow  x \in   \overline{A+B}

Entonces:

\Rightarrow  x \notin A+B

\Rightarrow  x \notin A   \&   x \notin B

\Rightarrow  x \in \overline{A}   \&   x \in \overline{B}

\Rightarrow  x \in \overline{A} \bullet \overline{B}

Esta demostración también podemos realizarla partiendo desde \overline{A} \bullet \overline{B}.

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  • Suponiendo que «y» pertenece a \overline{A} \bullet \overline{B}, y lo representamos de la siguiente forma:

\Rightarrow y \in \overline{A} \bullet \overline{B}

Entonces:

\Rightarrow y \notin A   \&  y \notin B

\Rightarrow y \notin A + B

\Rightarrow y \in \overline{A + B}

Este primer teorema también lo podemos representar en una tabla de verdad:

Table de verdad de la ley de De Morgan

Demostración de la 2ra ley de De Morgan

  • Suponiendo que «x» pertenece a \overline{A \bullet B} , y lo representamos de la siguiente forma:

\Rightarrow x \in \overline{A \bullet B}

Entonces:

\Rightarrow x \notin A \bullet B

\Rightarrow x \notin A \lor x \notin B

\Rightarrow x \in \overline{A} \lor x \in \overline{B}

\Rightarrow x \in \overline{A} + \overline{B}

Esta demostración también podemos realizarla partiendo desde \overline{A} + \overline{B}

  • Suponiendo que «y» pertenece a \overline{A} + \overline{B} , y lo representamos de la siguiente forma:

\Rightarrow y \in \overline{A} + \overline{B}

\Rightarrow y \in \overline{A}  \lor   y \in \overline{B}

\Rightarrow y \notin A  \lor   y \notin B

\Rightarrow y \notin A \bullet B

\Rightarrow y \in \overline{A \bullet B}

Este segundo teorema también lo podemos representar en una tabla de verdad:

Table de verdad de la ley de De Morgan

 

Extra:

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Si encuentras algún error o algún otro detalle por favor dejalo en los comentarios, para que pueda rectificarlo.🤯

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