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Problema:

Suponga que pudiera construirse un barril de acero de radio 4.0m y para asegurar se construye un aro de radio 3.9995m a una temperatura de 20.0 °C. ¿Cuanto debería aumentarse la temperatura para que el aro cierre en forma exacta?. Coeficiente de dilatación del acero es 1.2X10-5 .

un barril de acero de radio 4.0m - Dilatación Térmica - Termodinámica - ilustración (Ney)

Datos:

r_{barril} = 4.0m

r_{aro} = 3.9995m

T_o = 20.0^oC

T_f =?

\alpha_{acero} = 1.2\times 10^{-5}

Donde:

\alpha_{bronce} = Coeficiente de expansi\acute{o}n lineal del acero.

T_o = Temperatura inicial.

T_f = Temperatura final.

L_f = Longitud final.

L_o = Longitud inicial.

\alpha = Coeficiente de expansi\acute{o}n lineal.

\Delta T = Incremento de la temperatura.

Formulas:

Formula de expansión del área.

(1) A = A_o\times( 1+ 2\alpha\times \Delta T )

Formula de el incremento de temperatura.

(2) \Delta T = T_f -T_o

Formula de el incremento del área.

(3) \Delta A = 2\alpha\times A_o \times \Delta T

Solución:

Debemos hallar la temperatura  final, a la cual debe incrementarse .

Primero:

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Despejamos «Delta T» de la formula (3):

\Delta A = 2\alpha\times A_o \times \Delta T

\frac{\Delta A} {2\alpha\times A_o}= \Delta T

Invertimos la igualdad:

\Delta T = \frac{\Delta A} {2\alpha\times A_o}

Reemplazamos los datos:

Pero antes debemos hallar las áreas.

A = \Pi \times r_{barril}^2

A_{barril} = \Pi \times 4.0m^2 = 50.26548246m^2

A_{aro} = \Pi \times 3.9995m^2 = 50.25291687m^2

\Delta A = A_{barril} - A_{aro}

\Delta T = \frac{ 50.2654 - 50.2529} {2\times 1.2\times 10^{-5}\times 50.2529}

\Delta T = 10.36^oC

Segundo:

Solo nos falta espejar de la formula (2) la temperatura final.

\Delta T = T_f -T_o

Despejamos:

\Delta T + T_o= T_f

Invertimos los extremos de la igualdad:

T_f = \Delta T + T_o

Por ultimo reemplazamos «Delta T» y temperatura inicial en la formula:

T_f = 10.36^oC + 20^oC

T_f = 30.364^oC

Redondeando a un decimal:

T_f = 30.4^oC

Si encuentras algún error por favor dejalo en los comentarios, para que pueda rectificar el ejercicio.

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