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Introducción:

Revisando mi cuaderno de apuntes de física encontré un ejercicio de termodinámica que no termine de resolver en clase, así que se me ocurrió terminarlo y mostrárselos, así que, aquí se los dejo.

Problema:

Hay un cilindro de acero de 50cm de diámetro, el cilindro esta a 17ºC y un aro de 49.92cm de diámetro debe ser encajado en el. Calcular la temperatura final para ajustar el cilindro.

Hay un cilindro de acero de 50cm de diámetro - Térmodinamica - ilustración (Ney)

 

Datos:

D_c=50cm

T_c=17^oC

D_{Aro}= 49.92cm

T_f=?

\alpha=1.2\times 10^{-5} \frac{1}{^oC}

Formulas:

Fórmula del área de un círculo

(1) A_{c\acute{i}rculo}=\Pi \times \frac{D^2}{4}

Fórmula de expansión del área

(2) \Delta A=A_o + 2\alpha \times A_o(T_f - T_o)

Donde:

D_c= Diámetro del cilindro [m].

D_{aro}= Diámetro del aro [m].

T_c= Temperatura del cilindro [sg].

T_f= Temperatura final del aro [sg].

A_o= Area inicial [m²].

\alpha = Coeficiente de expansión lineal [\frac{1}{^oC}].

\Delta T = Incremento de la temperatura [ºC].

Solución:

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Para hallar la temperatura final del aro, inicialmente convertiremos el valor de los diámetros a metros, luego reemplazamos la formula del área de un círculo en la formula de expansión del área y despejamos la temperatura final.

Primero:

Convertir el valor de los diámetros a metros.

Nota: El metro pertenece al sistema internacional de unidades (SI).

50cm \times \frac{0.01m}{1cm}=0.5m

49.92cm \times \frac{0.01m}{1cm}=0.4992m

Segundo:

El incremento del área es igual al área del cilindro, porque es el valor final de expansión a donde tiene que llegar el aro.

\Delta A=A_o + 2\alpha \times A_o(T_f - T_o)

Como podemos ver el área del aro es el área inicial en la formula.

\Delta A_c = A_{aro} + 2\alpha \times A_{aro}(T_f - T_o)

\Pi \times \frac{D_c^2}{4} = \Pi \times \frac{D_{aro}^2}{4} + 2\alpha \times \Pi \times \frac{D^2}{4}(T_f - 17^oC)

Multiplicamos toda la ecuación por (4/π) para eliminar (π/4).

\Pi \times \frac{D_c^2}{4}  \times (\frac{4}{\Pi}) = \Pi \times \frac{D_{aro}^2}{4} \times (\frac{4}{\Pi}) + 2\alpha \times \Pi \times \frac{D^2}{4}(T_f - 17^oC) \times (\frac{4}{\Pi})

D_c^2 = D_{aro}^2 + 2\alpha \times D_{aro}^2 (T_f - 17^oC)

D_c^2 - D_{aro}^2 = 2\alpha \times D_{aro}^2 (T_f - 17^oC)

\frac{D_c^2 - D_{aro}^2}{2\alpha \times D_{aro}^2 } = T_f - 17^oC

\frac{D_c^2 - D_{aro}^2}{2\alpha \times D_{aro}^2 } + 17^oC = T_f

T_f = \frac{D_c^2 - D_{aro}^2}{2\alpha \times D_{aro}^2 } + 17^oC

Por ultimo reemplazamos todos los valores en la formula.

{\LARGE T_f = \frac{(0.5m)^2 - (0.4992m)^2}{2\times 1.2\times10^{-5}\frac{1}{^oC} \times (0.4992m)^2 } + 17^oC=133.65401745^oC }

Redondeando a un decimal.

{\LARGE T_f =133.6^oC }

Conclusión: El aro debe ser calentado a 133.6ºC para llegar a expandirse a 0.5m.

Si encuentras algún error por favor dejalo en los comentarios, para que pueda rectificar el ejercicio.

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