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Problema:

Usted observa un objeto que se mueve en M.A.S. Cuando dicho objeto esta desplazado a 0.600m a la derecha de su posición de equilibrio, tiene una velocidad de 2.20m/s a la derecha y una aceleración de 4.40m/s² a la izquierda. ¿A qué distancia de este punto se desplazará el objeto, antes de detenerse momentáneamente para iniciar su movimiento a la izquierda?

Datos:

x_{1}= 0.600 m

v= 2.20 m/s

a= 4.40 m/s^2

x_{2}= ?

Fórmulas:

(1) a= - w^2 \times x

(2) v= w \times \sqrt[2]{A^2 - x^2}

Donde:

x_{1}= Distancia uno [m].

v= Velocidad [m/s].

a= Aceleración [m/s²].

x_{2}= Distancia dos [m].

Solución:

Si el objeto ya se desplazo 0.600m a la derecha, solo necesitamos saber cual es su amplitud ya que la amplitud es la distancia o desplazamiento máximo a la cual llega la oscilación de un objeto.

Una vez el objeto termina de recorrer la amplitud se detiene un momento y retorna, sabiendo todo esto a la amplitud le restamos la distancia x_{1} y obtenemos la distancia x_{2} que es la distancia que le falta recorrer, en otras palabras x_{2} es el desplazamiento que tendrá el objeto a partir de los 0,600m.

Primero:

Como tenemos distancia y aceleración usamos la fórmula (1) para encontrar la frecuencia.

a= - w^2 \times x

x pasa al otro lado a dividir

\frac{a}{x} = - w^2

El exponente 2 pasa al otro lado como raíz

{\Large \sqrt[2]{ \frac{a}{x}} = - w}

Invertimos los lados para mayor compresión

- w = \sqrt[2]{ \frac{a}{x}}

Multiplicamos ambos lados por (-1)

{\Large - w \times (-1)= \sqrt[2]{ \frac{a}{x}} \times (-1)}

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w = - \sqrt[2]{ \frac{a}{x}}

Reemplazamos

{\Large w = - \sqrt[2]{ \frac{4.40}{0.600}}}

w = - 2.708 \frac{rad}{s}

Segundo:

A partir de la fórmula (2) Despejamos la amplitud

{\Large v= w \times \sqrt[2]{A^2 - x^2}}

Tomamos la frecuencia angular (w) y la mandamos a dividir al otro miembro o lado

{\Large \boldsymbol{\frac{v}{w}} =  \sqrt[2]{A^2 - x^2}}

La raíz pasa al otro lado con exponente

{\Large \boldsymbol{ ( \frac{v}{w}  )^2} = A^2 - x^2}

x pasa a sumar

{\Large \boldsymbol{ ( \frac{v}{w}  )^2} + x^2 = A^2}

El exponente de A pasa como raíz

{\Large \sqrt[2]{ \boldsymbol{ ( \frac{v}{w}  )^2} + x^2} = A}

Invertimos los lados la ecuación

{\Large A = \sqrt[2]{ \boldsymbol{ ( \frac{v}{w}  )^2} + x^2} }

Reemplazamos los datos

{\Large A = \sqrt[2]{ \boldsymbol{ ( \frac{2.20}{-2.708}  )^2} + 0.600^2} }

{\Large A = \sqrt[2]{ 0.66 + 0.36} }

{\Large A = 1.0099m }

Tercero:

Obtenemos el desplazamiento del objeto después de recorrer 0.600m

{\Large x_{2} = A - x_{1}}

{\Large x_{2} = 1.0099m - 0.600m}

{\Large x_{2} = 0.4099m }

Redondeando

{\Large x_{2} = 0.401m }

Extra:

La fórmula de la amplitud {\Large A = \sqrt[2]{ \boldsymbol{ ( \frac{v}{w}  )^2} + x^2} }  también la podemos despejarla de la siguiente fórmula {\Large a_{x}= - A \times w^2 cos (wt + \phi) }

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