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Problema:

¿A qué distancia sobre la superficie terrestre la aceleración debido a la gravedad es de 4.9m/s²?, si en la superficie tiene una magnitud de 9.80 m/s² y el radio de la tierra es 6.37×10⁶m.

La aceleración debido a la gravedad en la superficie terrestre - Gravitación - Física

Datos:

h = ?

g_h = 4.9\frac{m}{s^2}

g_o = 9.8\frac{m}{s^2}

r = 6.37\times 10^6m

Donde:

W = Peso [kg*m/s2].
F = Módulo de la fuerza gravitatoria [N].
m, M = Masas [kg].
r = Distancia de separación [m].
G = Constante de gravitación universal [N*m2/kg2].
g_o, g_h =Gravedad [m/s2].
r_t= Radio de la tierra.
h = Altura[m].

Formulas:

(1) F = G\times \frac{M \times m}{r^2}

(2) g = G\times\frac{m_t}{r_t^2}

(3) W= m\times g

Solución:

Para hallar la distancia de la altura, en la cual la gravedad es 4.9m/s² usaremos las formulas (1) y (3). Donde el peso es igual a la masa por gravedad, entonces el peso es una fuerza y lo reemplazamos en la formula (1), posteriormente despejamos la gravedad.

Primero:

Reemplazamos el peso en la fuerza.

W= m\times g

F = G\times \frac{M \times m}{r^2}

m\times g_o = G\times \frac{M \times m}{r^2}

Como tenemos masa en los estrenos multiplicamos todo por 1/m.

\Large m\times g_o = G\times \frac{M \times m}{r^2} \times (\frac{1}{m})

g_o = G\times \frac{M}{r^2}

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Segundo:

Cuando pasemos a multiplicar el radio nos queda la siguiente igualación.

(4) g_o \times r^2 = G\times M

Partiendo de la ecuación (4) obtenemos la ecuación (5). Donde la masa en la formula que nos queda es la masa de la tierra y al radio de la tierra le sumamos la altura en la que la gravedad es 4.9m/s², mientras que la gravedad es 4.9m/s² eso nos da la segunda ecuación.

(5) g_h \times (r+ h)^2 = G\times M_t

Como la gravedad por el radio al cuadrado es igual a la constante gravitacional por la masa. Reemplazamos (4) en (5)

{\Large g_h \times (r+ h)^2 = g_o \times r^2}

{\Large (r+ h)^2 = \frac{g_o}{g_h} \times r^2}

Despejamos la altura.

{\Large r^2+ h^2 = \frac{g_o}{g_h} \times r^2}

{\Large  h^2 = \frac{g_o}{g_h} \times r^2} - r^2

{\Large  h = \sqrt[2]{ \frac{g_o}{g_h} \times r^2 - r^2 }}

{\Large  h = \sqrt[2]{ \frac{g_o}{g_h}} \times \sqrt[2]{r^2} - \sqrt[2]{r^2} }

{\Large  h = \sqrt[2]{ \frac{g_o}{g_h}} \times r - r}

Reemplazamos los valores del radio de la tierra, lagravedad y la gravedad a determinada altura.

{\LARGE  h = \sqrt[2]{ \frac{9.8\frac{m}{s^2}}{4.9\frac{m}{s^2}}} \times 6.37\times10^6m - 6.37\times10^6m}

{\LARGE  h = 1.4142 \times (6.37\times10^6m) - 6.37\times10^6m}

{\LARGE  h = 9008540.392m - 6.37\times10^6m}

{\LARGE  h = 2638540.392m}

Exprezado en notación cientifica.

{\LARGE  h =2.6\times10^6m}

Conclusión: Para que la gravedad en la tierra sea 4.9m/s², la altura deve ser 2.6*10⁶m.

 

Si encuentras algún error por favor dejalo en los comentarios, para que pueda rectificar el ejercicio.

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