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Problema:

En un vuelo de entrenamiento, una piloto estudiante vuela de Lincoln, Nebraska, a Clarinda,
Iowa; luego a St. Joseph, Missouri y después a Manhattan, Kansas. Las direcciones se
muestran relativas al norte: 0º es norte, 90º es este, 180º es sur y 270º es oeste. Use el método de componentes para calcular a) la distancia que debe volar para regresar a Lincoln desde Manhattan; y b) la dirección (relativa al norte) que debe seguir. Ilustre su solución con un diagrama vectorial.

Datos:

\overrightarrow{A}= 147 km, \theta= 85^o

\overrightarrow{B}= 106km, \alpha=167^o

\overrightarrow{C}= 166 km, \beta= 235^o

\overrightarrow{R}= ?, \Large{ \gamma}=?

Fórmulas:

\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}

\Large{ \tan \boldsymbol{\gamma} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

Donde:

\overrightarrow{R}= \text{Vector resultante}

\gamma = \acute{a}ngulo \text{del vector resultante}

\overrightarrow{R _y}= \text{Componente del eje Y}

\overrightarrow{R _x}= \text{Componente del eje X}

Solución:

Bien, el problema indica que tenemos que resolverlo con el método de componentes. Y bueno el método de componentes consiste en  qué a partir de los componentes en X y Y encontramos el vector que necesitamos.

A partir de los vectores que nos dan en la figura vamos a descomponerlos y sumarlos,  los componentes en el eje X por un lado y todos los componentes en el eje Y por el otro. La suma de estos componentes son \overrightarrow{R _x} y \overrightarrow{R _y} que son los componentes del vector \overrightarrow{R} que va desde Manhattan a Lincoln.

Primero:

Obtenemos el componente \overrightarrow{R _x} del vector \overrightarrow{R}.

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\overrightarrow{R _x} = 147 \cos 85^o + 106 \cos 167^o + 166 \cos 235^o

\overrightarrow{R _x} = -185.69 km

Segundo:

Obtenemos el componente \overrightarrow{R _y} del vector \overrightarrow{R}.

\overrightarrow{R _y} = 147 \sin 85^o + 106 \sin 167^o + 166 \sin 235^o

\overrightarrow{R _y} = 34.31 km

Tercero:

Encontramos la distancia del vector \overrightarrow{R} que va desde Manhattan a Lincoln con la fórmula de Pitágoras.

\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}

\Large{ \overrightarrow{R} = \sqrt{((-185.69 km)^2 + (34.31 km)^2)} }

\overrightarrow{R} = 188.8 km

Cuarto:
Ahora solo falta encontrar la dirección o ángulo del vector \overrightarrow{R}

\Large{ \tan \boldsymbol{\gamma} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

Despejamos el ángulo de \gamma (gamma) y reemplazamos valores.

\Large{\boldsymbol{\gamma} =\tan^{-1} \Bigg(\frac{34.31}{-185.69} \Bigg)}

\Large{\boldsymbol{\gamma} =-10.47^o}

A 360^o  le restamos -10.47^o

\Large{\boldsymbol{\gamma} = 360^o - 10.47^o = 349.53^o}

\Large{\boldsymbol{\gamma} = 349.53^o}

Conclusión:

Con el metodo de componentes encontramos los componentes \overrightarrow{R _y} y \overrightarrow{R _x}, con la fórmula de Pitágoras encontramos la distancia y con la fórmula de la tangente encontramos la dirección.

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