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Problema:

Una espeleóloga esta explorando una cueva y sigue un pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m 45º al este del sur, y después 280 m 30º al este del norte. Tras un cuarto desplazamiento no medido, vuelve al punto inicial. Con un diagrama a escala determine la magnitud y la dirección del cuarto desplazamiento.

Una espeleóloga esta explorando una cueva y sigue un pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m 45º al este del sur, y después 280 m 30º al este del norte.

Datos:

\overrightarrow{A} = 180m

\overrightarrow{B} = 210m

\overrightarrow{C} = 280m

\alpha = 45^o

\theta = 30^o

\beta = ?

\overrightarrow{R} =?

Fórmulas:

\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}

\Large{ \tan \boldsymbol{\beta} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

Donde:

\overrightarrow{R}= \text{Vector resultante}

\boldsymbol{\beta =} \acute{A}ngulo \text{del vector resultante}

\overrightarrow{R_x}= \text{Vector componente en el eje x del vector resultante}

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\overrightarrow{R_y}= \text{Vector componente en el eje y del vector resultante}

Solución:

Para resolver este problema vamos a encontrar los vectores componentes del vector resultante.

\overrightarrow{R_x} = -180m + 210 \cos 45^o + 280 \cos 30^o = 210.98

\overrightarrow{R_y} = 0 - 210 \sin 45^o + 280 \sin 30^o = -8.49

Como ya tenemos los vectores componentes, ahora hallamos el vector resultante

\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}

\overrightarrow{R} = \sqrt{(210.98^2 + (-8.49)^2)}

\overrightarrow{R} =211.15

Y finalmente encontramos el ángulo de la resultante

\Large{ \tan \boldsymbol{\beta} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

\Large{ \tan \boldsymbol{\beta} = \Bigg(\frac{-8.49}{210.98} \Bigg)}

\Large{ \tan \boldsymbol{\beta} = tan ^{-1}\Bigg(\frac{-8.49}{210.98} \Bigg)}

\Large{ \tan \boldsymbol{\beta} = -2.30^o}

El vector apunta hacia el sur del oeste.

Conclusión:

El resultado de este ejercicio discrepa del resultado del libro Sears-Zemansky vol. 1, al principio dude de mi respuesta; pero luego de revisarlo varias veces y comprobarlo de forma gráfica  llegue a la conclusión de que el resultado del libro esta equivocado.

Esto no es nada raro a menudo se cometen errores en los libros que suelen ser corregidos en nuevas ediciones.

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Paula

Cuando utilizaste el Angulo de 30 grados tenias que poner sin porque sale desde el eje y

Tumaracamadre

esta mal, estas calculando la suma de los vectores abc y te falta calcular el tamaño de R

Jesus C

Los ángulos están mal, deberías haber trabajado con los complementarios para usar coseno en x y seno en y.
Así como los dejaste deberías intercambiar las funciones seno y coseno, es decir, utilizar seno en x y coseno en y.

PSigma

Hola! Muchas gracias, tu publicación me ayudó a entender este método de suma de vectores. Pero creo que hay un error, en el problema (el tercer vector) especifica: 30° al este del norte, y en tu diagrama lo que se ve es: 30° al norte del este, no sé si me explico bien, el ángulo θ debería ser 60° básicamente. Creo que de ese modo coincidiría con el resultado del libro 😋