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Problema:

Con los vectores \overrightarrow{A} y \overrightarrow{B} de la figura 1.34 use un dibujo a escala para obtener la magnitud y la dirección de a) la resultante \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} y b) la diferencia \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}. Con base en sus respuestas, determine la magnitud  y la dirección de c) - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} y d) \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} .

Sears Zemansky vol. 1 ejercicio 1.32. resulto tema vectores, Componentes de los vectores ejercicios resueltos, ejercicios de vectores

Datos:

\overrightarrow{A}= 8.00 m

\overrightarrow{B}= 15.0 m

\overrightarrow{C}= 12.0 m

\overrightarrow{D}= 10.0 m

Fórmulas:

\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

Donde:

\overrightarrow{R}= \text{Vector resultante}

\boldsymbol{\alpha =} \acute{A}ngulo \text{del vector resultante}

\overrightarrow{R_x}= \text{Vector componente en el eje x del vector resultante}

\overrightarrow{R_y}= \text{Vector componente en el eje y del vector resultante}

Solución:

a) \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}

Para resolver este problema vamos a encontrar el ángulo del vector \overrightarrow{B}. Debido a que el ángulo de un vector siempre parte desde el eje x+.

suma de vectores por componentes Sears Zemansky

90º es el ángulo total que hay en cada cuadrante y sabemos que entre el vector \overrightarrow{B} y el eje y+ del cuadrante I hay 30º, entonces el ángulo del vector \overrightarrow{B} es la diferencia entre 90º y 30º.

\theta = 90^o- 30^o

\theta = 60^o

Como ya tenemos el ángulo ya podemos encontrar los vectores componentes del vector \overrightarrow{R}.

\overrightarrow{R_x} =  \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B_x}

\overrightarrow{R_x} = 0 + 15 \cos 60^o

\overrightarrow{R_x} = 7.5

Como el vector \overrightarrow{A} se encuentra el el eje y– el valor del vector es negativo.

\overrightarrow{R_y} =  \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B_y}

\overrightarrow{R_y} = -8 + 15 \sin 60^o

\overrightarrow{R_y} = 4.99

A continuación usamos la fórmula de Pitágoras para hallar la resultante.

\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}

\overrightarrow{R} = \sqrt{7.5^2 + 4.99^2}

\overrightarrow{R} = 9

Un vector puede tener un valor positivo o negativo debido al sentido o dirección que tenga; pero la magnitud no tiene sentido entonces la magnitud del vector resultante es:

|\overrightarrow{R}| = 9

Bueno, ahora tenemos que hallar el ángulo del vector \overrightarrow{R}.

física universitaria Sears Zemansky

 

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{4.99}{7.5} \Bigg)}

\Large{ \boldsymbol{\alpha} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{4.99}{7.5} \Bigg)}

\Large{ \boldsymbol{\alpha} = 33.64^o}

b) \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}

Primero graficamos en el plano cartesiano los vectores \overrightarrow{A} y -\overrightarrow{B}.

Suma de vectores apartir de sus componentes

Ahora tenemos que encontrar el ángulo del vector \overrightarrow{B}, para ello restamos el ángulo de 180º (que hay entre el eje x positivo y el eje x negativo) con el ángulo de 60º.

\theta = 180^o- 60^o

\theta = 120^o

Continuando con el problema, toca encontrar los vectores componentes \overrightarrow{R_x} y \overrightarrow{R_y}.

\overrightarrow{R_x}= \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B_x}

\overrightarrow{R_x}= 0 - 15 \cos 120^o

\overrightarrow{R_x}= 7.5

El valor del vector es negativo por que se encuentra en el eje y negativo.

\overrightarrow{R_y}= \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B_y}

\overrightarrow{R_y}= - 8 - 15 \sin 120^o

\overrightarrow{R_y}= - 20.99

Con los componentes \overrightarrow{R_x} y \overrightarrow{R_y} hallamos el vector \overrightarrow{R}

\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}

\overrightarrow{R} = \sqrt{7.5^2 + (-20.99)^2}

\overrightarrow{R} = 22.29

Entonces la magnitud del vector \overrightarrow{R} es 22.29, otra forma de expresarlo es la siguiente.

|\overrightarrow{R}| = 22.29

Ángulo del vector \overrightarrow{R}

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

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\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{-20.99}{7.5} \Bigg)}

\Large{ \boldsymbol{\alpha} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{-20.99}{7.5} \Bigg)}

\large{ \boldsymbol{\alpha} = -70.34^o}

Como el decimal 3 no es mayor a 5 lo redondeamos a 70º.

\large{ \boldsymbol{\alpha} = -70^o}

Muy bien, no tenemos que asustarnos con el ángulo \large {\alpha}. Para entender el resultado del ángulo lo graficamos.

ejercicios resuletos de vectores Sears Zemansky

Recordemos que el ángulo de un vector parte siempre del eje x+ y que cada cuadrante tiene un ángulo de 90º, entonces el ángulo del vector es el siguiente.

Hallar el ángulo del vector resultante

Aclaración:

En este paso nonos interesa si el ángulo es negativo o positivo. Lo que importa es que, del eje x- al vector hay 70º que sumado a el ángulo de 180º da como resultado el ángulo de la resultante.

\large{ \boldsymbol{\alpha} = 180^o + 70^o}

Entonces el ángulo correcto del vector \large{\alpha} es:

\large{ \boldsymbol{\alpha} = 250^o}

c) - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}

Graficamos los vectores \overrightarrow{A}, - \overrightarrow{A} y - \overrightarrow{B}.

Suma de vectores -A -B de Sears Zemansky

Aclaración:

El vector \overrightarrow{A} es negativo porqué su direción apunta al eje y-; pero el vector opuesto de \overrightarrow{A}  es - \overrightarrow{A} y tiene sentido positivo porque apunta hacia el eje y+.

Bueno, empezamos hallando los vectores componentes \overrightarrow{R_x} y \overrightarrow{R_y}.

\overrightarrow{R_x} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B_x}

\overrightarrow{R_x}= 0 - 15 \cos 120^o

\overrightarrow{R_x}= 7.5

\overrightarrow{R_y}= \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B_y}

\overrightarrow{R_y}= 8 - 15 \sin 120^o

\overrightarrow{R_y}= - 4.99

Ya podemos encontrar el vector \overrightarrow{R}

\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}

\overrightarrow{R} = \sqrt{7.5^2 +(-4.99)^2}

\overrightarrow{R} = 9

La magnitud del vector resultante es: 9

Finalmente tenemos que encontrar el ángulo del vector \overrightarrow{R}

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{-4.99}{7.5} \Bigg)}

\Large{ \boldsymbol{\alpha} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{-4.99}{7.5} \Bigg)}

\large{ \boldsymbol{\alpha} = -33.64^o}

Graficamos el vector \overrightarrow{R} con el ángulo negativo para hallar el ángulo más apropiado (esto no indica que el ángulo obtenido de forma analítica este mal).

Ejercicios resultos de vectores paso a paso 2020

\large{ \boldsymbol{\alpha} = 180^o - 33.64^o}

\large{ \boldsymbol{\alpha} = 146.36^o}

d) \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}

Graficamos \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}

Hallamos los vectores componentes \overrightarrow{R_x} y \overrightarrow{R_y}

\overrightarrow{R_x}= A + \overrightarrow{B_x}

\overrightarrow{R_x}= 0 + 15 \cos 60^o

\overrightarrow{R_x}= 7.5

El valor del vector \overrightarrow{A} es positivo por que la dirección que tiene va hacia el eje y+.

\overrightarrow{R_y}= \overrightarrow{B_y} + A

\overrightarrow{R_y}= 15 \sin 60^o + 8

\overrightarrow{R_y}= 20.99

Ahora obtenemos el vector \overrightarrow{R}

\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}

\overrightarrow{R} = \sqrt{7.5^2 + 20.99^2}

\overrightarrow{R} = 22.29

Entonces la magnitud del vector \overrightarrow{R} es 22.29

Falta encontrar el ángulo del vector \overrightarrow{R}

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{20.99}{7.5} \Bigg)}

\Large{ \boldsymbol{\alpha} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{20.99}{7.5} \Bigg)}

\Large{ \boldsymbol{\alpha} = 70.34^o}

 

Como el decimal 3 no es mayor a 5 lo redondeamos a 70º.

\Large{ \boldsymbol{\alpha} = 70^o}

Bueno, creo que ya puedo ir a peinarme luego de terminar este ejercicio, si me equivoco por favor corríjanme en los comentarios🤣️.

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