Física I – Ejercicio de vectores 05 (Sears – Zemansky)

Problema:

Con los vectores $\overrightarrow{A} y \overrightarrow{B}$ de la figura 1.34 use un dibujo a escala para obtener la magnitud y la dirección de a) la resultante $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ y b) la diferencia $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$ . Con base en sus respuestas, determine la magnitud y la dirección de c) $- \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$ y d) $\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$ .

Datos:

$\overrightarrow{A}= 8.00 m$

$\overrightarrow{B}= 15.0 m$

$\overrightarrow{C}= 12.0 m$

$\overrightarrow{D}= 10.0 m$

Fórmulas:

$\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}$

$\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}$

Donde:

$\overrightarrow{R}=$ $\text{Vector resultante}$

$\boldsymbol{\alpha =}$ $\acute{A}ngulo$ $\text{del vector resultante}$

$\overrightarrow{R_x}=$ $\text{Vector componente en el eje x del vector resultante}$

$\overrightarrow{R_y}=$ $\text{Vector componente en el eje y del vector resultante}$

Solución:

a) $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$

Para resolver este problema vamos a encontrar el ángulo del vector $\overrightarrow{B}$ . Debido a que el ángulo de un vector siempre parte desde el eje x+.

90º es el ángulo total que hay en cada cuadrante y sabemos que entre el vector $\overrightarrow{B}$ y el eje y+ del cuadrante I hay 30º, entonces el ángulo del vector $\overrightarrow{B}$ es la diferencia entre 90º y 30º.

$\theta = 90^o- 30^o$

$\theta = 60^o$

Como ya tenemos el ángulo ya podemos encontrar los vectores componentes del vector $\overrightarrow{R}$ .

$\overrightarrow{R_x} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B_x}$

$\overrightarrow{R_x} = 0 + 15 \cos 60^o$

$\overrightarrow{R_x} = 7.5$

Como el vector $\overrightarrow{A}$ se encuentra el el eje y– el valor del vector es negativo.

$\overrightarrow{R_y} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B_y}$

$\overrightarrow{R_y} = -8 + 15 \sin 60^o$

$\overrightarrow{R_y} = 4.99$

A continuación usamos la fórmula de Pitágoras para hallar la resultante.

$\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}$

$\overrightarrow{R} = \sqrt{7.5^2 + 4.99^2}$

$\overrightarrow{R} = 9$

Un vector puede tener un valor positivo o negativo debido al sentido o dirección que tenga; pero la magnitud no tiene sentido entonces la magnitud del vector resultante es:

$|\overrightarrow{R}| = 9$

Bueno, ahora tenemos que hallar el ángulo del vector $\overrightarrow{R}$ .

$\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}$

$\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{4.99}{7.5} \Bigg)}$

$\Large{ \boldsymbol{\alpha} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{4.99}{7.5} \Bigg)}$

$\Large{ \boldsymbol{\alpha} = 33.64^o}$

b) $\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$

Primero graficamos en el plano cartesiano los vectores $\overrightarrow{A}$ y $-\overrightarrow{B}$ .

Ahora tenemos que encontrar el ángulo del vector $\overrightarrow{B}$ , para ello restamos el ángulo de 180º (que hay entre el eje x positivo y el eje x negativo) con el ángulo de 60º.

$\theta = 180^o- 60^o$

$\theta = 120^o$

Continuando con el problema, toca encontrar los vectores componentes $\overrightarrow{R_x}$ y $\overrightarrow{R_y}$ .

$\overrightarrow{R_x}= \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B_x}$

$\overrightarrow{R_x}= 0 - 15 \cos 120^o$

$\overrightarrow{R_x}= 7.5$

El valor del vector es negativo por que se encuentra en el eje y negativo.

$\overrightarrow{R_y}= \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B_y}$

$\overrightarrow{R_y}= - 8 - 15 \sin 120^o$

$\overrightarrow{R_y}= - 20.99$

Con los componentes $\overrightarrow{R_x}$ y $\overrightarrow{R_y}$ hallamos el vector $\overrightarrow{R}$

$\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}$

$\overrightarrow{R} = \sqrt{7.5^2 + (-20.99)^2}$

$\overrightarrow{R} = 22.29$

Entonces la magnitud del vector $\overrightarrow{R}$ es $22.29$ , otra forma de expresarlo es la siguiente.

$|\overrightarrow{R}| = 22.29$

Ángulo del vector $\overrightarrow{R}$

$\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}$

$\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{-20.99}{7.5} \Bigg)}$

$\Large{ \boldsymbol{\alpha} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{-20.99}{7.5} \Bigg)}$

$\large{ \boldsymbol{\alpha} = -70.34^o}$

Como el decimal 3 no es mayor a 5 lo redondeamos a 70º.

$\large{ \boldsymbol{\alpha} = -70^o}$

Muy bien, no tenemos que asustarnos con el ángulo $\large {\alpha}$ . Para entender el resultado del ángulo lo graficamos.

Recordemos que el ángulo de un vector parte siempre del eje x+ y que cada cuadrante tiene un ángulo de 90º, entonces el ángulo del vector es el siguiente.

Aclaración:

En este paso nonos interesa si el ángulo es negativo o positivo. Lo que importa es que, del eje x- al vector hay 70º que sumado a el ángulo de 180º da como resultado el ángulo de la resultante.

$\large{ \boldsymbol{\alpha} = 180^o + 70^o}$

Entonces el ángulo correcto del vector $\large{\alpha}$ es:

$\large{ \boldsymbol{\alpha} = 250^o}$

c) $- \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}$

Graficamos los vectores $\overrightarrow{A}$ , $- \overrightarrow{A}$ y $- \overrightarrow{B}$ .

Aclaración:

El vector $\overrightarrow{A}$ es negativo porqué su direción apunta al eje y-; pero el vector opuesto de $\overrightarrow{A}$ es $- \overrightarrow{A}$ y tiene sentido positivo porque apunta hacia el eje y+.

Bueno, empezamos hallando los vectores componentes $\overrightarrow{R_x}$ y $\overrightarrow{R_y}$ .

$\overrightarrow{R_x} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B_x}$

$\overrightarrow{R_x}= 0 - 15 \cos 120^o$

$\overrightarrow{R_x}= 7.5$

$\overrightarrow{R_y}= \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B_y}$

$\overrightarrow{R_y}= 8 - 15 \sin 120^o$

$\overrightarrow{R_y}= - 4.99$

Ya podemos encontrar el vector $\overrightarrow{R}$

$\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}$

$\overrightarrow{R} = \sqrt{7.5^2 +(-4.99)^2}$

$\overrightarrow{R} = 9$

La magnitud del vector resultante es: $9$

Finalmente tenemos que encontrar el ángulo del vector $\overrightarrow{R}$

$\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}$

$\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{-4.99}{7.5} \Bigg)}$

$\Large{ \boldsymbol{\alpha} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{-4.99}{7.5} \Bigg)}$

$\large{ \boldsymbol{\alpha} = -33.64^o}$

Graficamos el vector $\overrightarrow{R}$ con el ángulo negativo para hallar el ángulo más apropiado (esto no indica que el ángulo obtenido de forma analítica este mal).

$\large{ \boldsymbol{\alpha} = 180^o - 33.64^o}$

$\large{ \boldsymbol{\alpha} = 146.36^o}$

d) $\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$

Graficamos $\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$

Hallamos los vectores componentes $\overrightarrow{R_x}$ y $\overrightarrow{R_y}$

$\overrightarrow{R_x}= A + \overrightarrow{B_x}$

$\overrightarrow{R_x}= 0 + 15 \cos 60^o$

$\overrightarrow{R_x}= 7.5$

El valor del vector $\overrightarrow{A}$ es positivo por que la dirección que tiene va hacia el eje y+.

$\overrightarrow{R_y}= \overrightarrow{B_y} + A$

$\overrightarrow{R_y}= 15 \sin 60^o + 8$

$\overrightarrow{R_y}= 20.99$

Ahora obtenemos el vector $\overrightarrow{R}$

$\overrightarrow{R} = \sqrt{\overrightarrow{R}_x^2 + \overrightarrow{R}_y^2}$

$\overrightarrow{R} = \sqrt{7.5^2 + 20.99^2}$

$\overrightarrow{R} = 22.29$

Entonces la magnitud del vector $\overrightarrow{R}$ es $22.29$

Falta encontrar el ángulo del vector $\overrightarrow{R}$

$\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}$

$\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{20.99}{7.5} \Bigg)}$

$\Large{ \boldsymbol{\alpha} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{20.99}{7.5} \Bigg)}$

$\Large{ \boldsymbol{\alpha} = 70.34^o}$

Como el decimal 3 no es mayor a 5 lo redondeamos a 70º.

$\Large{ \boldsymbol{\alpha} = 70^o}$

Bueno, creo que ya puedo ir a peinarme luego de terminar este ejercicio, si me equivoco por favor corríjanme en los comentarios🤣️.

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Irene

2 years ago

Gracias.

Amelia

buenas tardes, disculpa una pequeñaduda pero porque by es negativo? si en el grafico esta en el cuadrante 2 de -x y +y, no seria como es la inversa de b en el cuadrante 3 donde -x y -y existen? eso no terminaria cambiando el valor del angulo?

Last edited 2 years ago by Amelia

Jhoan

1 year ago

Bro? El último que pedo? Hiciste lo que te convino

Last edited 1 year ago by Jhoan

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Publicado por Ney en 25 junio, 202025 junio, 2020

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