Demostración de el Álgebra de Boole

Demostración de las leyes del álgebra de Boole (Proof of the laws of Boolean algebra)

De la siguiente leyes del álgebra de Boole resolveremos aquellas que estén marcadas:

10) $A+(AB)=A$

Demostración (Proof):

$A= A+(AB)$ ———> Aplicamos Ley distributiva

$A= A+A \bullet A+B$ ———> Usamos la propiedad de idempotencia en A (x+x=x)

$A= A \bullet A+B$ ———> Ley distributiva

$A= A(1 \bullet 1+B)$ ———> ( $1 \bullet 1=1$ ), luego Ley de elemento neutro (x+1=1)

$A= A(1)$ ———> Propiedad de identidad ( $x \bullet 1=x$ )

$A= A$

11) $A+(\overline{A}B) = A+B$

Demostración (Proof):

$A+B = A+(\overline{A}B)$ ———> Aplicamos Ley distributiva

$A+B = A+\overline{A} \bullet A+B$ ———> Aplicamos Ley de complemento en A ( $x + \overline{x}= 1$ )

$A+B =1 \bullet A+B$ ———> Propiedad de identidad en A ( $x \bullet 1=x$ )

$A+B =A+B$

12) $(A+B)(A+C)= A+BC$

Demostración (Proof):

$A+BC= (A+B)(A+C)$ ———> Ley distributiva

$A+BC= AA + AC + BA + BC$ ———> Propiedad de idempotencia en A ( $x \bullet x = x$ )

$A+BC= A + AC + BA + BC$ ———> Ley distributiva en A

$A+BC= A(1 + 1 \bullet C) + BA + BC$ ———> Propiedad de ( $x \bullet 1 = x$ ), luego ( $x+1=1$ )

$A+BC= A(1) + BA + BC$ ———> Propiedad de ( $x \bullet 1 = x$ )

$A+BC= A + BA + BC$ ———> Ley distributiva en A

$A+BC= A(1 + B \bullet 1) + BC$ ———> Propiedad de identidad ( $x \bullet 1 = x$ ), luego ( $x+1=1$ )

$A+BC= A + BC$

13) $A(A+B) = A$

Demostración (Proof):

$A = A(A+B)$ ———> Ley distributiva en A

$A = AA+AB$ ———> Propiedad de idempotencia ( $x \bullet x =x$ )

$A = A+AB$ ———> Ley distributiva en A

$A = A(1+1 \bullet B)$ ———> Propiedad de identidad ( $x \bullet 1 = x$ ), luego ley de anulación ( $x+1=1$ )

$A = A(1)$ ———> Propiedad de identidad ( $x \bullet 1 = x$ )

$A = A$

14) $A(\overline{A} +B)=AB$

Demostración (Proof):

$AB = A(\overline{A} + B)$ ———> Ley distributiva en A

$AB = A\overline{A} + AB$ ———> Ley complemento en A ( $x \bullet \overline{x} = 0$ )

$AB = 0+ AB$ ———> Propiedad de ( $x + 0 = x$ )

$AB = AB$

15) $\overline{A} + (AB) = \overline{A} + B$

Demostración (Proof):

$\overline{A} + B = \overline{A} + (AB)$ ———> Ley distributiva

$\overline{A} + B = \overline{A} + A \bullet \overline{A} + B$ ———> Ley complemento en A ( $x + \overline{x} = 1$ )

$\overline{A} + B = 1 \bullet \overline{A} + B$ ———> Propiedad de identidad $(x \bullet 1 = x)$

En esta otra tabla del álgebra de Boole vemos que es un poco diferente a la primera; por ello vamos a demostrar aquellas que son diferentes y estén marcadas.

12) $X \bullet Y + X \bullet \overline{Y} = X$

Demostración (Proof):

$X = X \bullet Y + X \bullet \overline{Y}$ ———> Ley distributiva en X

$X = X (1 \bullet Y + 1 \bullet \overline{Y})$ ———> Propiedad de identidad $A \bullet 1 = A$

$X = X ( Y + \overline{Y})$ ———> Ley complemento $A + \overline{A} = 1$

$X = X ( 1)$ ———> Propiedad de identidad $A \bullet 1 = A$

$X = X$

13) $(X+Y)\bullet(X+\overline{Y})= X+X \bullet \overline{Y}+X \bullet Y = X$

Demostración (Proof):

$X = (X+Y)\bullet(X+\overline{Y})$ ———> Ley distributiva

$X = X\bullet X+X\bullet \overline{Y} + Y \bullet X + Y \bullet \overline{Y}$ ———> Ley complemento $A \bullet \overline{A} = 0$

$X = X\bullet X+X\bullet \overline{Y} + Y \bullet X$ ———> Propiedad idempotencia X $A \bullet A = A$

$X = X+ X\bullet \overline{Y} + Y \bullet X$ ———> Ley distributiva

$X = X(1+ 1\bullet \overline{Y} + Y \bullet 1)$ ———> Propiedad de identidad $A \bullet 1 = A$

$X = X(1+ \overline{Y} + Y)$ ———> Ley complemento $A+\overline{A}= 1$

$X = X(1+1)$ Ley de anulación $A+1=1$ , (1 + algo =1)

$X = X(1)$ Propiedad de identidad $A \bullet 1 = A$

$X = X$

14) $XY+XZ+Y\overline{Z} = XZ+ Y\overline{Z}$

Demostración (Proof):

$XZ+ Y\overline{Z} = XY+XZ+Y \overline{Z}$ ———> Sumamos $Z\overline{Z}$ por que no afecta

$XZ+ Y\overline{Z} = XY+XZ+Y \overline{Z} + Z\overline{Z}$ ———> Ley distributiva

$XZ+ Y\overline{Z} = (YZ) + (X\overline{Z})$

Si encuentras algún error o algún otro detalle por favor dejalo en los comentarios, para que pueda rectificarlo.🤯

$prueba$

$A$

Demostración de el Álgebra de Boole

Publicado por Ney en 16 febrero, 202116 febrero, 2021

Relacionado

Lógica matemática

Algebra I – Leyes de equivalencia lógica

Lógica matemática

Algebra I – Rezumen de operadores lógicos

Lógica matemática

Algebra I – Clasificación de fórmulas proposicionales

Demostración de el Álgebra de Boole

Publicado por Ney en 16 febrero, 202116 febrero, 2021

Relacionado

Entradas relacionadas

Lógica matemática

Algebra I – Leyes de equivalencia lógica

Lógica matemática

Algebra I – Rezumen de operadores lógicos

Lógica matemática

Algebra I – Clasificación de fórmulas proposicionales