Publicidad

Demostración de las leyes del álgebra de Boole (Proof of the laws of Boolean algebra)

De la siguiente  leyes del álgebra de Boole resolveremos aquellas que estén marcadas:

Álgebra Boleana

10) A+(AB)=A

Demostración (Proof):

A= A+(AB) ———> Aplicamos Ley distributiva

A= A+A \bullet A+B ———> Usamos la propiedad de idempotencia en A (x+x=x)

A= A \bullet A+B ———> Ley distributiva

A= A(1 \bullet 1+B) ———> (1 \bullet 1=1), luego Ley de elemento neutro (x+1=1)

A= A(1) ———> Propiedad de identidad (x \bullet 1=x)

A= A

 

11) A+(\overline{A}B) = A+B

Demostración (Proof):

A+B = A+(\overline{A}B) ———> Aplicamos Ley distributiva

A+B = A+\overline{A} \bullet A+B ———> Aplicamos Ley de complemento en A (x + \overline{x}= 1)

A+B =1 \bullet A+B ———> Propiedad de identidad en A (x \bullet 1=x)

A+B =A+B

 

12) (A+B)(A+C)= A+BC

Demostración (Proof):

A+BC= (A+B)(A+C) ———> Ley distributiva

A+BC= AA + AC + BA + BC ———> Propiedad de idempotencia en A (x \bullet x = x)

A+BC= A + AC + BA + BC ———> Ley distributiva en A

A+BC= A(1 + 1 \bullet C) + BA + BC ———> Propiedad de (x \bullet 1 = x),  luego (x+1=1)

A+BC= A(1) + BA + BC ———> Propiedad de (x \bullet 1 = x)

A+BC= A + BA + BC ———> Ley distributiva en A

A+BC= A(1 + B \bullet 1) + BC ———> Propiedad de identidad (x \bullet 1 = x), luego (x+1=1)

A+BC= A + BC

 

13) A(A+B) = A

Demostración (Proof):

A = A(A+B) ———> Ley distributiva en A

A = AA+AB ———> Propiedad de idempotencia (x \bullet x =x)

A = A+AB ———> Ley distributiva en A

A = A(1+1 \bullet B) ———> Propiedad de identidad (x \bullet 1 = x), luego ley de anulación (x+1=1)

A = A(1) ———> Propiedad de identidad (x \bullet 1 = x)

A = A

 

14) A(\overline{A} +B)=AB

Demostración (Proof):

Publicidad

AB = A(\overline{A} + B) ———> Ley distributiva en A

AB = A\overline{A} + AB ———> Ley complemento en A (x \bullet \overline{x} = 0)

AB = 0+ AB ———> Propiedad de (x + 0 = x)

AB = AB

 

15) \overline{A} + (AB) = \overline{A} + B

Demostración (Proof):

\overline{A} + B = \overline{A} + (AB) ———> Ley distributiva

\overline{A} + B = \overline{A} + A \bullet \overline{A} + B ———> Ley complemento en A (x + \overline{x} = 1)

\overline{A} + B = 1  \bullet \overline{A} + B ———> Propiedad de identidad (x \bullet 1 = x)

 

En esta otra tabla del álgebra de Boole vemos que es un poco diferente a la primera; por ello vamos a demostrar aquellas que son diferentes y estén marcadas.

12) X \bullet Y + X \bullet \overline{Y} = X

Demostración (Proof):

X = X \bullet Y + X \bullet \overline{Y} ———>  Ley distributiva en X

X = X (1 \bullet Y + 1 \bullet \overline{Y}) ———> Propiedad de identidad A \bullet 1 = A

X = X ( Y + \overline{Y}) ———> Ley complemento A + \overline{A} = 1

X = X ( 1) ———> Propiedad de identidad A \bullet 1 = A

X = X

13) (X+Y)\bullet(X+\overline{Y})= X+X \bullet \overline{Y}+X \bullet Y  = X

Demostración (Proof):

X = (X+Y)\bullet(X+\overline{Y}) ———> Ley distributiva

X = X\bullet X+X\bullet \overline{Y} + Y \bullet X + Y \bullet \overline{Y} ———> Ley complemento A \bullet \overline{A} = 0

X = X\bullet X+X\bullet \overline{Y} + Y \bullet X ———> Propiedad idempotencia X A \bullet A = A

X = X+ X\bullet \overline{Y} + Y \bullet X ———> Ley distributiva

X = X(1+ 1\bullet \overline{Y} + Y \bullet 1) ———> Propiedad de identidad A \bullet 1 = A

X = X(1+ \overline{Y} + Y) ———> Ley complemento A+\overline{A}= 1

X = X(1+1) Ley de anulación A+1=1, (1 + algo =1)

X = X(1) Propiedad de identidad A \bullet 1 = A

X = X

14) XY+XZ+Y\overline{Z} = XZ+ Y\overline{Z}

Demostración (Proof):

XZ+ Y\overline{Z} = XY+XZ+Y \overline{Z} ———> Sumamos Z\overline{Z} por que no afecta

XZ+ Y\overline{Z} = XY+XZ+Y \overline{Z} + Z\overline{Z} ———> Ley distributiva

XZ+ Y\overline{Z} = (YZ) + (X\overline{Z})

Si encuentras algún error o algún otro detalle por favor dejalo en los comentarios, para que pueda rectificarlo.🤯

prueba

A

Publicidad


Subscribe
Notify of
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments