Publicidad

Problema:

Una marinera en un velero pequeño se topa con vientos cambiantes. Navega 2.00 km al este, luego 3.50 km al sureste y después otro tramo en una dirección desconocida. Su posición final es 5.80 km directamente al este del punto inicial. Determine la magnitud y la dirección del tercer tramo. Dibuje el diagrama de suma vectorial y demuestre que concuerda cualitativamente con su solución numérica.

Datos:

\overrightarrow{A} = 2.00 km, E

\overrightarrow{B} = 3.50 km, ES

\beta= 45^o

x = 5.8 km

\overrightarrow{C} = ?

\left\vert \overrightarrow{C} \right\vert = ?

\theta= ?

Donde:

E = \text{ Este. }

SE = \text{ SurEste. }

\overrightarrow{A} = \text{ Vector A, primer tramo al Este.}

\overrightarrow{B} = \text{ Vector B, segundo tramo al SurEste.}

\beta= \acute{A}ngulo \text{ del vector B}

\theta= \acute{A}ngulo \text{ del vector C}

x = \text{Distancia entre el punto inicial y final del recorrido}

\overrightarrow{C} = \text{ Vector C, tercer tramo} direcci\acute{o}n \text{ desconocida.}

\left\vert \overrightarrow{C} \right\vert = \text{ Magnitud del vector C}

Fórmulas:

\overrightarrow{C} = \sqrt{\overrightarrow{A}^2 + \overrightarrow{B}^2}

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{R _y}}{\overrightarrow{R _x}} \Bigg)}

Solución:

Al resolver este problema no necesitaremos usar muchas formulas; pero si graficar bastante, empecemos.

Primero:

Restamos el vector A con la distancia x (que va desde el punto inicial  del vector A al punto final del vector C). Al resultado de esta resta llamaremos \overrightarrow{D}.

\overrightarrow{D} = \overrightarrow{A} - x

\overrightarrow{D} = 2 km - 5.8 km

\overrightarrow{D} = 3.8 km

Segundo:

Publicidad

Descomponemos el vector \overrightarrow{B} en sus componentes «x» y «y».

\overrightarrow{B_x} = 3.5 \cos 45^o

\overrightarrow{B_x} = 2.5km

\overrightarrow{B_y} = 3.5 \sin 45^o

\overrightarrow{B_y} = 2.5 km

Tercero:

Ahora restamos \overrightarrow{B_x} a \overrightarrow{D}, con esta resta lo que vamos a conseguir es encontrar el componente en x del vector \overrightarrow{C} (que luego utilizaremos para encontrar el propio vector \overrightarrow{C}).

\overrightarrow{C_x}= \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B_x}

\overrightarrow{C_x} = 3.8 km - 2.5 km

\overrightarrow{C_x} = 1.3 km

Cuarto:

Ahora desplasamos el componente \overrightarrow{B_y} asta llegar al vector \overrightarrow{C}.

Notemos que el componente \overrightarrow{B}_y es igual componente \overrightarrow{C}_y

Quinto:

Como ya tenemos los componentes «x» y «y» del \overrightarrow{C}, toca encontrar el vector \overrightarrow{C}.

\overrightarrow{C} = \sqrt{\overrightarrow{C}_x^2 + \overrightarrow{C}_y^2}

\overrightarrow{C} = \sqrt{1.3^2 + 2.5^2}

\overrightarrow{C} = 2.81

Entonces la magnitud del vector es:

\left\vert \overrightarrow{C} \right\vert = 2.81

Sexto:

Con los valores de los componentes del vector \overrightarrow{C} también podemos encontrar el ángulo.

 

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{\overrightarrow{C _y}}{\overrightarrow{C _x}} \Bigg)}

\Large{ \tan \boldsymbol{\alpha} = \Bigg(\frac{2.5}{1.3} \Bigg)}

\Large{ \boldsymbol{\alpha} = \tan^{-1} \Bigg(\frac{2.5}{1.3} \Bigg)}

\Large{ \boldsymbol{\alpha} = 62.52^o}

Con esto ya tenemos la magnitud y la dirección del vector \overrightarrow{C} o mejor dicho del ultimo tramo del velero.

Publicidad


Subscribe
Notify of
guest
4 Comments
Oldest
Newest Most Voted
Inline Feedbacks
View all comments
katalina castelblanco

el arctan de 25/13 da es 62,5 no 27

juliana

gracias te amo

Gabriel

Gracias:)))

Last edited 4 months ago by Gabriel